2.3 일차함수와 일차방정식 · Ⅳ-2. 일차함수의 활용

HOOK · 시작 질문

식과 그래프가 만나면?

A line is both an equation and a picture.

A GRAND CONNECTION

$2x + y = 5$를 좌표평면 위에 그려보자. 직선인가 함수인가?

$2x + y = 5$를 $y$에 대해 정리하면 $y = -2x + 5$. 일차함수입니다. 좌표평면 위에 직선으로 그려집니다.

즉, 미지수 2개 일차방정식 $ax + by = c$는 좌표평면 위 직선과 같습니다. Ⅲ-2에서 다룬 연립방정식을 떠올려 봅시다 — 두 식을 동시에 만족시키는 한 쌍 $(x, y)$를 찾는 것. 이것은 그래프 위에서 두 직선이 만나는 교점을 찾는 것과 같습니다.

대수와 기하의 통합 — 이것이 데카르트가 17세기에 발견한 위대한 통찰입니다.

이 차시는 단원 전체에서 가장 아름다운 부분입니다. 식과 도형이 같은 것임을 발견합니다.

BIG IDEA · 대원리

대수와 기하의 통합

The grand equivalence — equations and geometry unite.

THE GRAND PRINCIPLE

연립방정식의 해 ⇔ 두 직선의 교점

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$의 해 $= $ 두 직선의 교점

미지수 2개 일차방정식은 좌표평면 위 직선입니다.
연립방정식의 해는 두 직선의 교점(공통점)입니다.
2.2에서 다룬 두 직선의 위치 관계가 곧 연립방정식 해의 개수를 결정합니다.

WORKED DEMO · 시연

단계별 시연

From equations to intersection point.

시연 ① · 연립방정식의 해를 그래프로

$\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$의 해를 두 직선의 교점으로 찾으시오.

STEP 1. 첫째 식: $x + y = 4$ → $y = -x + 4$ (직선 ①)

STEP 2. 둘째 식: $x - y = 2$ → $y = x - 2$ (직선 ②)

STEP 3. 두 직선을 그리면 한 점에서 만남: $(3, 1)$.

STEP 4. 대수적 검산: $3 + 1 = 4$ ✓, $3 - 1 = 2$ ✓.

▶ 해: $(x, y) = (3, 1)$ — 두 직선의 교점

시연 ② · 대수적 방법으로 교점 찾기

두 직선 $y = 2x + 1$과 $y = -x + 4$의 교점의 좌표는?

STEP 1. 두 직선이 만나는 점은 두 식을 동시에 만족. $y$ 자리에 같은 값이 들어가야 함.

STEP 2. $2x + 1 = -x + 4$ → $3x = 3$ → $x = 1$.

STEP 3. $y = 2(1) + 1 = 3$. 교점 $(1, 3)$.

▶ 교점: $(1, 3)$

SUMMARY · 정리표

위치 관계와 해의 개수

The number of solutions depends entirely on how two lines relate.

두 직선의 위치 관계 ↔ 연립방정식의 해의 개수

두 직선의 관계	기울기·절편	교점	연립방정식의 해
한 점에서 만남	기울기 다름 ($a \ne a'$)	1개	한 쌍
평행	기울기 같고 절편 다름	없음	없음
일치	모두 같음	모든 점	무수히 많음

즉, 연립방정식을 풀지 않고 그래프의 모양만 봐도 해의 개수를 알 수 있습니다.

QUICK CHECK · 빠른 확인

바로 확인하기

5 quick warm-ups.

QC-01 · 식 변형

$2x + y = 5$를 $y = $ 꼴로?

▼ 클릭하여 답 보기

$y = -2x + 5$.

QC-02 · 교점 찾기

$y = x + 1$과 $y = -x + 3$의 교점은?

▼ 클릭하여 답 보기

$x + 1 = -x + 3$ → $x = 1, y = 2$. ▶ $(1, 2)$.

QC-03 · 해의 개수

$\{y = 2x + 1, y = 2x + 3\}$의 해의 개수는?

▼ 클릭하여 답 보기

두 직선이 평행 → ▶ 해 없음 (0).

QC-04 · 일치

$\{x + y = 3, 2x + 2y = 6\}$의 해의 개수는?

▼ 클릭하여 답 보기

둘째 식 양변 ÷ 2 → $x + y = 3$. 일치. ▶ 무수히 많음.

QC-05 · 한 쌍

$\{y = 3x, y = x + 2\}$의 해의 $x$값은?

▼ 클릭하여 답 보기

$3x = x + 2$ → $x = \mathbf{1}$, $y = 3$.

WORKED EXAMPLES · 예제

함께 풀어보기

Two examples combining geometry and algebra.

EXAMPLE 01

교점의 좌표

두 직선 $y = 2x - 1$과 $y = -x + 5$의 교점의 좌표를 구하시오.

1

두 식이 동시에 성립: $2x - 1 = -x + 5$.

2

$3x = 6$ → $x = 2$.

3

$y = 2(2) - 1 = 3$. 교점 $(2, 3)$.

▶ 답: $(2, 3)$

EXAMPLE 02

해의 개수 판별

연립방정식 $\{x + 2y = 4,\ 2x + 4y = 8\}$의 해의 개수를 구하시오.

1

둘째 식을 양변 $\div 2$: $x + 2y = 4$.

2

첫째 식과 완전히 같음. 두 직선이 일치.

3

두 직선이 모든 점에서 만나므로 공통 해가 무수히 많음.

▶ 답: 해의 개수 = 무수히 많음

PRACTICE · 연습 문제

스스로 풀어보기

8 problems graded by difficulty.

P-01

★ 식 변형

일차방정식 $2x + y = 5$를 $y = $ 꼴 일차함수로 변형하면? (형식: y=-2x+5)

SOLUTION

$y = -2x + 5$.

P-02

★ 식 변형

일차방정식 $2x - y = 6$을 $y = $ 꼴로 변형하면? (형식: y=2x-6)

SOLUTION

$-y = -2x + 6$ → $y = 2x - 6$.

P-03

★ 교점

두 직선 $y = x + 1$과 $y = -x + 3$의 교점의 $x$좌표는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$x + 1 = -x + 3$ → $x = 1$.

P-04

★★ 연립의 해

연립방정식 $\{x + y = 4,\ x - y = 2\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

두 식 더하면 $2x = 6$ → $x = 3, y = 1$. 교점 $(3, 1)$.

P-05

★★ 교점

두 직선 $y = 2x - 1$과 $y = -x + 5$의 교점의 $x$좌표는? (답: 숫자만)

SOLUTION

$2x - 1 = -x + 5$ → $3x = 6$ → $x = 2, y = 3$.

P-06

★★ 연립 → 한 미지수

연립방정식 $\{2x + y = 5,\ x - y = 1\}$의 해의 $x$값은? (답: 숫자만)

SOLUTION

두 식 더하면 $3x = 6$ → $x = 2, y = 1$.

P-07

★★★ 일치 → 해 개수

연립방정식 $\{x + 2y = 4,\ 2x + 4y = 8\}$의 해의 개수는?

SOLUTION

둘째 식 ÷ 2 → 첫째 식과 일치. 두 직선이 일치 → 해 무수히 많음.

P-08

★★★ 평행 → 해 없음

연립방정식 $\{x + y = 3,\ x + y = 5\}$의 해의 개수는? (답: 숫자만, 없으면 0)

SOLUTION

두 직선 $y = -x + 3$과 $y = -x + 5$는 평행 (기울기 같고 $y$절편 다름). 해 없음.

LESSON 2.3 · WRAP-UP

한 줄로 정리하면

미지수 2개 일차방정식 $ax + by = c$는 좌표평면 위 직선입니다. 연립방정식의 해는 두 직선의 교점(공통점)과 같습니다. 두 직선이 한 점에서 만나면 해는 한 쌍, 평행하면 해 없음, 일치하면 무수히 많음. 식과 그림이 같은 것이라는 데카르트의 통찰은 모든 수학의 토대입니다.